Математика · 6 класс · Длина окружности, число π, площадь круга, шар и сфера
Длина окружности и площадь круга. Шар — три серии
Полный материал для спокойного чтения. Работает без JavaScript.
Гонка колёс. Этап «Колесо»
Ты уже знаешь окружность и круг. Окружность — замкнутая линия. Все её точки на одном расстоянии от центра.
Это расстояние — радиус. Отрезок через центр от края до края — диаметр. Он равен двум радиусам.
В этом уроке три серии. Сегодня — длина окружности. Потом — площадь круга. В конце — шар и тест как на ВПР.
Перед каждой частью ты делаешь прогноз и ставишь искры. Прогноз верный — искр становится больше.
А зачем нам длина окружности?
Сейчас увидишь. На летающих островах начинается гонка колёс.
Участников двое. Миша — он сначала всё измеряет. И Рикки Вихрь — он всё прикидывает на глазок. У каждого своя колесница.
Большой кубок! Три этапа: «Колесо», «Арена» и «Планета». Начинаем с этапа «Колесо».
Флаг стоит в 25,12 м от старта. До старта каждый называет, сколько оборотов сделает колесо его колесницы до флага. Кто остановится точно у флага, тот проходит.
Моё колесо вдвое больше в диаметре. На глазок — 12 оборотов, и я у флага.
А я сначала узнаю, какой путь проходит моё колесо за один оборот.
Это и есть задача этапа: точно предсказать число оборотов. Для этого нужно знать путь колеса за один оборот. Этот путь равен длине окружности колеса.
Колесо Рикки вдвое больше в диаметре. Его след за один оборот длиннее — во сколько раз?
Задание: гонка колёс. Этап «Колесо»
Колесо Рикки вдвое больше в диаметре. Его след за один оборот длиннее — во сколько раз?
Ты уже знаешь окружность и круг. Окружность — замкнутая линия. Все её точки на одном расстоянии от центра.
Это расстояние — радиус. Отрезок через центр от края до края — диаметр. Он равен двум радиусам.
В этом уроке три серии. Сегодня — длина окружности. Потом — площадь круга. В конце — шар и тест как на ВПР.
Перед каждой частью ты делаешь прогноз и ставишь искры. Прогноз верный — искр становится больше.
А зачем нам длина окружности?
Сейчас увидишь. На летающих островах начинается гонка колёс.
Участников двое. Миша — он сначала всё измеряет. И Рикки Вихрь — он всё прикидывает на глазок. У каждого своя колесница.
Большой кубок! Три этапа: «Колесо», «Арена» и «Планета». Начинаем с этапа «Колесо».
Флаг стоит в 25,12 м от старта. До старта каждый называет, сколько оборотов сделает колесо его колесницы до флага. Кто остановится точно у флага, тот проходит.
Моё колесо вдвое больше в диаметре. На глазок — 12 оборотов, и я у флага.
А я сначала узнаю, какой путь проходит моё колесо за один оборот.
Это и есть задача этапа: точно предсказать число оборотов. Для этого нужно знать путь колеса за один оборот. Этот путь равен длине окружности колеса.
Колесо Рикки вдвое больше в диаметре. Его след за один оборот длиннее — во сколько раз?
Колесо Рикки вдвое больше в диаметре. Его след за один оборот длиннее — во сколько раз?
Задание: я это уже знаю. Окружность
Четыре вопроса про окружность: что такое окружность, где центр, чему равен радиус, что такое длина окружности.
Окружность — замкнутая линия; все её точки на одном расстоянии от центра.
Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r.
Длина окружности — длина самой линии, если её выпрямить.
Четыре вопроса про окружность: что такое окружность, где центр, чему равен радиус, что такое длина окружности.
Окружность — замкнутая линия; все её точки на одном расстоянии от центра. Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r. Длина окружности — длина самой линии, если её выпрямить.
Отношение
Отношение двенадцати к четырём — это 12 : 4.
Отношение двух чисел — это частное: во сколько раз одно больше другого.
Задание: отношение
Чему равно отношение 12 к 4?
Отношение двенадцати к четырём — это 12 : 4.
Отношение двух чисел — это частное: во сколько раз одно больше другого.
Чему равно отношение 12 к 4?
Отношение двенадцати к четырём — это 12 : 4. Отношение двух чисел — это частное: во сколько раз одно больше другого.
Округление
Округлить до сотых — оставить две цифры после запятой.
Третья цифра меньше 5 — вторую не меняем; 5 или больше — увеличиваем на 1.
3,1416 ≈ 3,14
Правило в копилку: Отношение двух величин — частное; округлить до сотых — оставить две цифры после запятой.
Задание: округление
Округли до сотых три числа: 3,1416; 2,718; 6,285.
Округлить до сотых — оставить две цифры после запятой.
Третья цифра меньше 5 — вторую не меняем; 5 или больше — увеличиваем на 1.
3,1416 ≈ 3,14
Округли до сотых три числа: 3,1416; 2,718; 6,285.
Округлить до сотых — оставить две цифры после запятой. Третья цифра меньше 5 — вторую не меняем; 5 или больше — увеличиваем на 1. 3,1416 ≈ 3,14
Намотай сам
Длину окружности меряют ниткой: обмотать один раз, распрямить, приложить к линейке. Её обозначают буквой C.
Диаметр — отрезок через центр от края до края.
Ровно один оборот: без нахлёста и без зазора.
Правило в копилку: Длину окружности меряют ниткой за один оборот; диаметр — через центр.
Задание: намотай сам
Обмотай ниткой стакан, крышку и колесо — каждый ровно один раз. Измерь длину окружности и диаметр.
Длину окружности меряют ниткой: обмотать один раз, распрямить, приложить к линейке. Её обозначают буквой C.
Диаметр — отрезок через центр от края до края.
Ровно один оборот: без нахлёста и без зазора.
Обмотай ниткой стакан, крышку и колесо — каждый ровно один раз. Измерь длину окружности и диаметр.
Длину окружности меряют ниткой: обмотать один раз, распрямить, приложить к линейке. Её обозначают буквой C. Диаметр — отрезок через центр от края до края. Ровно один оборот: без нахлёста и без зазора.
Обод в прямую
Длина окружности — путь обода за один оборот.
Считаем отношения
Отношение C : d — длина окружности, делённая на диаметр.
Отношение округляем до сотых.
Стакан 22 : 7 ≈ 3,14; крышка 26,7 : 8,5 ≈ 3,14; колесо 11,0 : 3,5 ≈ 3,14.
Правило в копилку: Отношение C : d считаем делением длины на диаметр и округляем до сотых.
Задание: считаем отношения
Округли отношение для каждого предмета до сотых.
Отношение C : d — длина окружности, делённая на диаметр.
Отношение округляем до сотых.
Стакан 22 : 7 ≈ 3,14; крышка 26,7 : 8,5 ≈ 3,14; колесо 11,0 : 3,5 ≈ 3,14.
Округли отношение для каждого предмета до сотых.
Отношение C : d — длина окружности, делённая на диаметр. Отношение округляем до сотых. Стакан 22 : 7 ≈ 3,14; крышка 26,7 : 8,5 ≈ 3,14; колесо 11,0 : 3,5 ≈ 3,14.
У всех одно число
Тарелка: C = 75,4 см, d = 24 см. Монета: C = 7,9 см, d = 2,5 см. Колесо обозрения: C = 377 м, d = 120 м.
У разных окружностей отношение длины к диаметру почти одно и то же: около 3,14.
Правило в копилку: У любой окружности C : d ≈ 3,14.
Задание: у всех одно число
Что общего у всех шести строк?
Тарелка: C = 75,4 см, d = 24 см. Монета: C = 7,9 см, d = 2,5 см. Колесо обозрения: C = 377 м, d = 120 м.
У разных окружностей отношение длины к диаметру почти одно и то же: около 3,14.
Что общего у всех шести строк?
Тарелка: C = 75,4 см, d = 24 см. Монета: C = 7,9 см, d = 2,5 см. Колесо обозрения: C = 377 м, d = 120 м. У разных окружностей отношение длины к диаметру почти одно и то же: около 3,14.
Шесть лент на одной линейке
В любую окружность диаметр укладывается чуть больше трёх раз.
Число π
У любой окружности длина, делённая на диаметр, — одно и то же число.
Это число называют буквой π («пи»): C : d = π. У π бесконечно много цифр после запятой.
В задачах π округляют: 3,14; 22/7; для прикидки — 3. Какое брать — сказано в условии.
Подсказка Мише
Длина окружности: C = π · d — число π умножаем на диаметр.
π ≈ 3,14 — одно число для всех окружностей.
Миша: d = 40 см, C = 3,14 · 40 = 125,6 см; 2512 : 125,6 = 20 оборотов.
Правило в копилку: Длина окружности: C = π · d, π ≈ 3,14.
Задание: подсказка Мише
Пять задач по формуле C = π · d: самокат, обруч, клумба, колесо Миши.
Длина окружности: C = π · d — число π умножаем на диаметр.
π ≈ 3,14 — одно число для всех окружностей.
Миша: d = 40 см, C = 3,14 · 40 = 125,6 см; 2512 : 125,6 = 20 оборотов.
Пять задач по формуле C = π · d: самокат, обруч, клумба, колесо Миши.
Длина окружности: C = π · d — число π умножаем на диаметр. π ≈ 3,14 — одно число для всех окружностей. Миша: d = 40 см, C = 3,14 · 40 = 125,6 см; 2512 : 125,6 = 20 оборотов.
Прогноз штурмана
Диаметр колеса Рикки — 80 сантиметров, у Миши — 40. Миша посчитал: ему до флага 20 оборотов.
Сколько оборотов нужно колесу Рикки до флага?
«10» — ×2
«5» — ×3
«40» — ×2
Прогноз штурмана С1.2: Сколько оборотов нужно колесу Рикки до флага?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Задание: задачи как на ВПР
Колесо Рикки и три задачи ВПР 2026: найди длину окружности, π ≈ 3,14.
Дан радиус: C = 2πr. Дан диаметр: C = πd. На ВПР π округляют до 3,14.
Рикки: C = 3,14 · 80 = 251,2 см, 2512 : 251,2 = 10 оборотов.
ВПР: r = 35 см → 219,8 см; r = 19 см → 119,32 см; r = 16 см → 100,48 см.
Колесо Рикки и три задачи ВПР 2026: найди длину окружности, π ≈ 3,14.
Дан радиус: C = 2πr. Дан диаметр: C = πd. На ВПР π округляют до 3,14. Рикки: C = 3,14 · 80 = 251,2 см, 2512 : 251,2 = 10 оборотов. ВПР: r = 35 см → 219,8 см; r = 19 см → 119,32 см; r = 16 см → 100,48 см.
Задание: задачи из учебника
Задачи учебника № 3.162, 3.163, 3.185, 3.166 и задача про обороты колеса.
Какое π брать, сказано в условии: 3 1/7, 3,1 или 3,14.
Если известна длина окружности, диаметр находят делением: d = C : π.
№ 3.162 — 66 см; № 3.163 — 93 см; № 3.185 — 150,72 см; № 3.166 — 19 м; колесо d = 50 см на 157 м — 100 оборотов.
Задачи учебника № 3.162, 3.163, 3.185, 3.166 и задача про обороты колеса.
Какое π брать, сказано в условии: 3 1/7, 3,1 или 3,14. Если известна длина окружности, диаметр находят делением: d = C : π. № 3.162 — 66 см; № 3.163 — 93 см; № 3.185 — 150,72 см; № 3.166 — 19 м; колесо d = 50 см на 157 м — 100 оборотов.
Табло этапа
Миша считал по формуле C = πd: колесо d = 40 см проходит за оборот 125,6 см, до флага 2512 см — 20 оборотов.
π до сотых: 3,14.
Правило в копилку: C = πd = 2πr, π ≈ 3,14.
Табло турнира. Этап «Колесо»
Банк искр ученика против банка Рикки: какие прогнозы сбылись и почему.
Арена
Длина окружности — это длина края круга.
Краска ложится на всю поверхность внутри края. Нужна площадь круга.
Задание: арена
Что нужно знать, чтобы купить краску?
Длина окружности — это длина края круга.
Краска ложится на всю поверхность внутри края. Нужна площадь круга.
Что нужно знать, чтобы купить краску?
Длина окружности — это длина края круга. Краска ложится на всю поверхность внутри края. Нужна площадь круга.
Прогноз штурмана
Прямоугольник разрезали на части и сложили из них другую фигуру. Её площадь…
«та же» — ×2
«больше» — ×2
«меньше» — ×2
Прогноз штурмана С2.1: Прямоугольник разрезали на части и сложили из них другую фигуру. Её площадь…
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Разминка штурмана
C = 2πr и C = πd.
Площадь прямоугольника: S = a · b.
Правило в копилку: Площадь мерят в квадратных единицах — см², м².
Задание: разминка штурмана
Введи три ответа: C при r = 2 см, C при d = 1 м, S прямоугольника 5 × 3 см.
C = 2πr и C = πd.
Площадь прямоугольника: S = a · b.
Введи три ответа: C при r = 2 см, C при d = 1 м, S прямоугольника 5 × 3 см.
C = 2πr и C = πd. Площадь прямоугольника: S = a · b.
Режем и складываем
Фигуру разрезали и сложили по-другому. Ничего не выбросили и не добавили.
Площадь не изменилась.
Правило в копилку: Разрезали и сложили по-другому — площадь та же.
Задание: режем и складываем
Перенеси третий кусок в лесенку. Сколько клеток в лесенке?
Фигуру разрезали и сложили по-другому. Ничего не выбросили и не добавили.
Площадь не изменилась.
Перенеси третий кусок в лесенку. Сколько клеток в лесенке?
Фигуру разрезали и сложили по-другому. Ничего не выбросили и не добавили. Площадь не изменилась.
Краска по секторам
Сектор — кусок круга от центра до края.
У сектора две прямые стороны — радиусы — и одна кривая — кусочек окружности.
Задание: краска по секторам
На сколько секторов резать арену: 8, 16 или 32? Выбери и посмотри на край полосы.
Сектор — кусок круга от центра до края.
У сектора две прямые стороны — радиусы — и одна кривая — кусочек окружности.
На сколько секторов резать арену: 8, 16 или 32? Выбери и посмотри на край полосы.
Сектор — кусок круга от центра до края. У сектора две прямые стороны — радиусы — и одна кривая — кусочек окружности.
Прогноз штурмана
Из секторов сложили почти прямоугольник. Его длинная сторона равна…
«длине окружности» — ×2
«половине длины окружности» — ×3
«диаметру» — ×2
Прогноз штурмана С2.2: Из секторов сложили почти прямоугольник. Его длинная сторона равна…
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Клетки не помогают
Площадь — сколько квадратиков 1 × 1 см помещается в фигуру.
Целые клетки внутри круга сосчитать можно, а на краю — обрезки. Клетками арену не посчитать.
В круг радиусом 3 см помещается 16 целых клеток: площадь больше 16 см², но точно по клеткам не узнать.
Правило в копилку: Клетками площадь круга можно только оценить.
Задание: клетки не помогают
Посчитай целые клетки. Потом скажи, в какую фигуру превратить круг. Вспомни лесенку из 13.2.03.
Площадь — сколько квадратиков 1 × 1 см помещается в фигуру.
Целые клетки внутри круга сосчитать можно, а на краю — обрезки. Клетками арену не посчитать.
В круг радиусом 3 см помещается 16 целых клеток: площадь больше 16 см², но точно по клеткам не узнать.
Посчитай целые клетки. Потом скажи, в какую фигуру превратить круг. Вспомни лесенку из 13.2.03.
Площадь — сколько квадратиков 1 × 1 см помещается в фигуру. Целые клетки внутри круга сосчитать можно, а на краю — обрезки. Клетками арену не посчитать. В круг радиусом 3 см помещается 16 целых клеток: площадь больше 16 см², но точно по клеткам не узнать.
Режем на секторы
Сектор — кусок круга между двумя радиусами.
Край сектора — дуга, кусочек окружности.
Разрезали и переложили — площадь та же.
Правило в копилку: Разрезали и переложили — площадь не изменилась.
Задание: режем на секторы
Если резать на 16 секторов, края станут ровнее или кривее? Сначала выбери, потом поверни ручку.
Сектор — кусок круга между двумя радиусами.
Край сектора — дуга, кусочек окружности.
Разрезали и переложили — площадь та же.
Если резать на 16 секторов, края станут ровнее или кривее? Сначала выбери, потом поверни ручку.
Сектор — кусок круга между двумя радиусами. Край сектора — дуга, кусочек окружности. Разрезали и переложили — площадь та же.
Много секторов
Чем мельче секторы, тем ближе фигура к прямоугольнику.
Фигура всё ближе к прямоугольнику. Этот прямоугольник — предел.
Это прямоугольник, а не квадрат: стороны разные.
Правило в копилку: Много секторов складываются почти в прямоугольник; в пределе — прямоугольник.
Задание: много секторов
Посмотри на короткую сторону прямоугольника. Из чего она сделана?
Чем мельче секторы, тем ближе фигура к прямоугольнику.
Фигура всё ближе к прямоугольнику. Этот прямоугольник — предел.
Это прямоугольник, а не квадрат: стороны разные.
Посмотри на короткую сторону прямоугольника. Из чего она сделана?
Чем мельче секторы, тем ближе фигура к прямоугольнику. Фигура всё ближе к прямоугольнику. Этот прямоугольник — предел. Это прямоугольник, а не квадрат: стороны разные.
Мастерская Миши
Миша сложил 16 секторов. Полоса почти ровная. Но какой она длины?
Посмотри, из чего сделан длинный край полосы. Это кусочки окружности.
Длинная сторона
Короткая сторона — радиус r.
Длинная сторона сложена из дуг: сверху — дуги половины секторов.
Верхние дуги вместе — половина окружности.
Правило в копилку: Длинная сторона прямоугольника из секторов — половина окружности.
Задание: длинная сторона
Какую часть окружности закроют верхние, синие дуги? Выбери, потом перенеси их на окружность.
Короткая сторона — радиус r.
Длинная сторона сложена из дуг: сверху — дуги половины секторов.
Верхние дуги вместе — половина окружности.
Какую часть окружности закроют верхние, синие дуги? Выбери, потом перенеси их на окружность.
Короткая сторона — радиус r. Длинная сторона сложена из дуг: сверху — дуги половины секторов. Верхние дуги вместе — половина окружности.
Стороны прямоугольника
Вся окружность при r = 3 — два раза по 3,14 · 3. Половина — один раз: 3,14 · 3 = 9,42.
То есть πr.
Прямоугольник πr на r.
Правило в копилку: Круг перекладывается в прямоугольник πr на r.
Задание: стороны прямоугольника
Как записать стороны прямоугольника буквами? Повесь бирки.
Вся окружность при r = 3 — два раза по 3,14 · 3. Половина — один раз: 3,14 · 3 = 9,42.
То есть πr.
Прямоугольник πr на r.
Как записать стороны прямоугольника буквами? Повесь бирки.
Вся окружность при r = 3 — два раза по 3,14 · 3. Половина — один раз: 3,14 · 3 = 9,42. То есть πr. Прямоугольник πr на r.
Прямоугольник сворачивается
Прямоугольник и круг сделаны из одних и тех же секторов. Значит, площадь у них одна.
А площадь прямоугольника я умею считать: длина на ширину.
Эр в квадрате
Число, умноженное само на себя, пишут коротко: r · r = r².
Читается «эр в квадрате».
Это площадь квадрата со стороной r. Не «умножить на два».
Правило в копилку: r² — это r · r, а не r · 2.
Формула площади
S = πr².
Если дан диаметр — сначала найди радиус: раздели диаметр на два.
Если дана длина окружности — сначала радиус: r = C : 2π. C = 12,56 см → r = 2 см → S = 12,56 см².
Правило в копилку: S = πr²: радиус умножаю сам на себя, потом на 3,14.
⌛ Рецепт Ахмеса
Больше 3500 лет назад в Египте писец Ахмес переписал сборник задач. В одной из них — круглое поле.
Поле диаметром 9: убрать девятую часть, 8 · 8 = 64.
По нашей формуле — 63,585. Почти то же.
Правило в копилку: Старый способ проверяю формулой S = πr²: для диаметра 9 выходит 63,585, почти 64.
Щит Рикки
У Рикки радиус щита вдвое больше. Он взял вдвое больше краски. Вроде логично.
Сделай прогноз.
Прогноз штурмана
Радиус круга увеличили в 2 раза. Краски нужно…
«в 2 раза больше» — ×2
«в 3 раза больше» — ×2
«в 4 раза больше» — ×3
Прогноз штурмана С2.3: Радиус круга увеличили в 2 раза. Краски нужно…
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Вдвое больше радиус
Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Радиус больше в 2 раза — площадь круга больше в 4 раза.
Площадь круга не пропорциональна радиусу.
Правило в копилку: Радиус больше в 2 раза — площадь больше в 4 раза; в 3 раза — в 9 раз. Площадь круга не пропорциональна радиусу.
Точки вбрасывания
На хоккейной площадке диаметр центрального круга вдвое больше диаметра точки вбрасывания. Диаметр больше в два раза — значит, и радиус больше в два раза.
Четыре заливки. Как в нашем опыте.
Во сколько раз площадь центрального круга больше?
Прогноз штурмана
Внутри круга радиусом 4 см вырезан круг радиусом 2 см. Осталось кольцо. Его площадь по сравнению с вырезанным кругом…
«меньше вырезанного круга — кольцо узкое» — ×2
«в 2 раза больше» — ×2
«в 3 раза больше» — ×3
Прогноз штурмана С2.4: Внутри круга радиусом 4 см вырезан круг радиусом 2 см. Осталось кольцо. Его площадь по сравнению с вырезанным кругом…
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Линейка на доске
Кольцо — часть круга между двумя окружностями с общим центром.
Площадь кольца = площадь большого круга − площадь малого.
Линейка и чертёж в одном масштабе: 1 деление — 1 мм чертежа.
Правило в копилку: Площадь кольца — большой круг минус малый.
Крышка и кольцо
Соответствующая сцена источника ↗Три восьмых круга
Часть круга — это доля его площади.
3/8 круга: S = 3/8 · πr².
Правило в копилку: Часть круга = доля · πr².
Краска для площадки
Дан диаметр 4 м — сначала радиус: r = 2 м.
S = 3,14 · 2² = 12,56 м².
Краска: 12,56 · 0,16 ≈ 2,01 кг.
Задание: краска для площадки
Сколько килограммов краски нужно? Округли до сотых.
Дан диаметр 4 м — сначала радиус: r = 2 м.
S = 3,14 · 2² = 12,56 м².
Краска: 12,56 · 0,16 ≈ 2,01 кг.
Сколько килограммов краски нужно? Округли до сотых.
Дан диаметр 4 м — сначала радиус: r = 2 м. S = 3,14 · 2² = 12,56 м². Краска: 12,56 · 0,16 ≈ 2,01 кг.
Две формулы
Окружность — длина: C = πd = 2πr.
Круг — площадь: S = πr².
Для площади нужен радиус; дан диаметр — дели пополам.
Правило в копилку: По краю — длина окружности; всё внутри — площадь круга.
Задание: две формулы
Что нужно найти: длину окружности или площадь круга? Дай каждой ситуации нитку или валик — и две задачи этапа «Арена».
Окружность — длина: C = πd = 2πr.
Круг — площадь: S = πr².
Для площади нужен радиус; дан диаметр — дели пополам.
Что нужно найти: длину окружности или площадь круга? Дай каждой ситуации нитку или валик — и две задачи этапа «Арена».
Окружность — длина: C = πd = 2πr. Круг — площадь: S = πr². Для площади нужен радиус; дан диаметр — дели пополам.
Прогноз штурмана
Сколько задач из трёх решишь верно?
«0» — ×2
«1» — ×2
«2» — ×2
«3» — ×2
Прогноз штурмана С2.5: Сколько задач из трёх решишь верно?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Задание: самостоятельная работа
Реши три задачи. Ответ проверяется после всех трёх.
Три задачи. Без подсказок. В каждой задаче указано, как округлить π.
Реши три задачи. Ответ проверяется после всех трёх.
Три задачи. Без подсказок. В каждой задаче указано, как округлить π.
Табло турнира
S = πr²; если дан диаметр — сначала радиус.
Часть круга — доля площади; кольцо — большой круг минус малый.
Радиус вдвое больше — площадь в 4 раза больше.
Задание: табло турнира
Выбери одну карточку и допиши мысль: «Я понял…», «Я ошибся в…» или «Хочу проверить…».
S = πr²; если дан диаметр — сначала радиус.
Часть круга — доля площади; кольцо — большой круг минус малый.
Радиус вдвое больше — площадь в 4 раза больше.
Выбери одну карточку и допиши мысль: «Я понял…», «Я ошибся в…» или «Хочу проверить…».
S = πr²; если дан диаметр — сначала радиус. Часть круга — доля площади; кольцо — большой круг минус малый. Радиус вдвое больше — площадь в 4 раза больше.
Табло турнира. Этап «Арена»
Банк искр ученика против банка Рикки: какие прогнозы сбылись и почему.
ДЗ: Пицца на противне
Растяни пиццу до краёв противня. Найди радиус, площадь пиццы и насколько прямоугольная пицца больше.
Противень 465 × 375 мм. Круглая пицца касается двух длинных сторон.
π = 3,14; площади — до сотых.
Растяни пиццу до краёв противня. Найди радиус, площадь пиццы и насколько прямоугольная пицца больше.
Противень 465 × 375 мм. Круглая пицца касается двух длинных сторон. π = 3,14; площади — до сотых.
ДЗ: Разметка хоккейной площадки
Во сколько раз больше площадь центрального круга? Найди радиус и площадь судейской зоны и какую часть центрального круга она занимает.
а) Диаметр центрального круга вдвое больше круга точки вбрасывания.
б) Судейская зона — полукруг, радиус — 2/3 радиуса центрального круга (d = 9 м). π = 3,14.
Во сколько раз больше площадь центрального круга? Найди радиус и площадь судейской зоны и какую часть центрального круга она занимает.
а) Диаметр центрального круга вдвое больше круга точки вбрасывания. б) Судейская зона — полукруг, радиус — 2/3 радиуса центрального круга (d = 9 м). π = 3,14.
ДЗ: Громоотвод
Найди площадь защитного круга при h = 10, 15 и 20 м. Высота выросла в 2 раза — во сколько раз выросла площадь?
Громоотвод высотой h защищает на земле круг радиусом 2h. π = 3,14.
Найди площадь защитного круга при h = 10, 15 и 20 м. Высота выросла в 2 раза — во сколько раз выросла площадь?
Громоотвод высотой h защищает на земле круг радиусом 2h. π = 3,14.
Остров-планета
Финал Большого кубка. Последний этап — круг вокруг острова-планеты.
Планета — это просто большой круг. Облечу на глазок.
Круг плоский. А остров со всех сторон одинаково круглый.
На острове висит маяк. Финишные ворота стоят там, где до маяка ровно три метра.
С какой стороны ни смотри — край круглый. Это не круг.
Лампочка
Лампочку считаем точкой.
Все точки пола на расстоянии 3 м от лампочки — окружность.
А все такие точки комнаты? — откроется в 13.3.05.
Правило в копилку: Все точки пола на одном расстоянии от лампочки лежат на окружности. Её центр — точка пола под лампочкой.
Задание: лампочка
Отметь на полу пять точек, до которых от лампочки ровно 3 м.
Лампочку считаем точкой.
Все точки пола на расстоянии 3 м от лампочки — окружность.
А все такие точки комнаты? — откроется в 13.3.05.
Отметь на полу пять точек, до которых от лампочки ровно 3 м.
Лампочку считаем точкой. Все точки пола на расстоянии 3 м от лампочки — окружность. А все такие точки комнаты? — откроется в 13.3.05.
Прогноз штурмана
А если не прижимать верёвку к полу? Она может смотреть вверх, вбок, в любую сторону.
Все точки комнаты, до которых от лампочки ровно 3 м. Какую фигуру они образуют?
«окружность» — ×2
«круг» — ×2
«поверхность мяча» — ×3
Прогноз штурмана С3.1: Все точки комнаты, до которых от лампочки ровно 3 м. Какую фигуру они образуют?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Шесть карточек
Перед новым — шесть быстрых вопросов о том, что мы уже знаем. Отвечай сразу, без расчётов.
Задание: шесть карточек
Шесть быстрых вопросов о том, что мы уже знаем. Отвечай сразу, без расчётов.
Перед новым — шесть быстрых вопросов о том, что мы уже знаем. Отвечай сразу, без расчётов.
Шесть быстрых вопросов о том, что мы уже знаем. Отвечай сразу, без расчётов.
Знакомьтесь, Шар
Мяч, арбуз, апельсин, глобус. Наша планета Земля — почти такая же фигура. Эта фигура называется шар.
Круг тоже круглый. Чем шар отличается?
Круг лежит на плоскости. Его можно нарисовать на листе. Шар — объёмная фигура. Такие фигуры называют телами: они занимают место в пространстве, их можно взять в руки. Шар круглый со всех сторон. Посмотри на него сверху, сбоку, снизу — его край всегда окружность.
Шар на рисунке выглядит как круг. Чтобы показать, что он объёмный, рисуют окружность и добавляют тень или штриховку.
Что из этого — шар?
Правило в копилку: Шар — тело, круглое со всех сторон. На рисунке — окружность со штриховкой.
Мяч и кожура
Шар — всё тело вместе с тем, что внутри.
Сфера — только поверхность шара.
Все точки сферы одинаково удалены от центра.
Правило в копилку: Сфера — поверхность шара. Все точки сферы одинаково удалены от центра шара.
Радиус шара
Радиус шара — отрезок от центра до точки сферы.
Диаметр — отрезок через центр между двумя точками сферы.
d = 2r
Правило в копилку: Диаметр шара равен двум радиусам: d = 2r.
Тросы от маяка
Соответствующая сцена источника ↗Окружность со штриховкой
Шар на листе рисуют так: окружность, а внутри — штриховка или блик. Штриховка показывает, что фигура объёмная.
Прогноз штурмана
Плоскость режет шар не через центр, а сбоку. Какая фигура будет в срезе?
«круг» — ×3
«овал» — ×2
«зависит от наклона плоскости» — ×2
Прогноз штурмана С3.2: Плоскость режет шар не через центр, а сбоку. Какая фигура будет в срезе?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Режем шар
Сечение — фигура, которая получается в месте разреза.
Любое сечение шара плоскостью — круг.
Через центр — самый большой круг.
Задание: режем шар
Проверь сам: сдвинь плоскость к краю шара, к центру и наклони её. Смотри в окно «Срез».
Сечение — фигура, которая получается в месте разреза.
Любое сечение шара плоскостью — круг.
Через центр — самый большой круг.
Проверь сам: сдвинь плоскость к краю шара, к центру и наклони её. Смотри в окно «Срез».
Сечение — фигура, которая получается в месте разреза. Любое сечение шара плоскостью — круг. Через центр — самый большой круг.
Задание: самый большой круг
Найди положение плоскости, при котором сечение — самый большой круг.
Через центр — самый большой круг.
Найди положение плоскости, при котором сечение — самый большой круг.
Через центр — самый большой круг.
Облака режут планету
Пол — плоскость. Сфера вокруг лампочки — поверхность. Пол режет сферу, и на полу остаётся окружность.
Значит, точки на полу из первого задания — это край сечения. Окружность — граница круга, который получился в срезе.
Правило в копилку: Плоскость режет шар по кругу, а сферу — по окружности.
Задание: облака режут планету
Плоскость режет шар. Что получится в срезе у шара и что — у сферы?
Пол — плоскость. Сфера вокруг лампочки — поверхность. Пол режет сферу, и на полу остаётся окружность.
Значит, точки на полу из первого задания — это край сечения. Окружность — граница круга, который получился в срезе.
Плоскость режет шар. Что получится в срезе у шара и что — у сферы?
Две книги: мяч
Линейку через мяч не провести: внутри не измерить.
Мяч зажимают между двумя книгами.
Расстояние между книгами — диаметр.
Правило в копилку: Диаметр шара — расстояние между двумя параллельными плоскостями, которые касаются шара (на доске их показывают книги).
Задание: две книги: мяч
Придвинь книги и прочитай диаметр мяча.
Линейку через мяч не провести: внутри не измерить.
Мяч зажимают между двумя книгами.
Расстояние между книгами — диаметр.
Придвинь книги и прочитай диаметр мяча.
Линейку через мяч не провести: внутри не измерить. Мяч зажимают между двумя книгами. Расстояние между книгами — диаметр.
Задание: апельсин и глобус
Придвинь книги и прочитай диаметр апельсина, затем — глобуса.
Расстояние между книгами — диаметр.
Придвинь книги и прочитай диаметр апельсина, затем — глобуса.
Расстояние между книгами — диаметр.
Прогноз штурмана
Шар радиусом 3 см и коробка-куб с ребром 5 см. Шар поместится?
«поместится» — ×2
«впритык» — ×2
«не поместится» — ×3
Прогноз штурмана С3.3: Шар радиусом 3 см и коробка-куб с ребром 5 см. Шар поместится?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Шар в кубе
Сравнивать с ребром куба нужно диаметр шара.
d = 2 · 3 = 6 см, 6 > 5.
Правило в копилку: Шар помещается в куб, если его диаметр не больше ребра куба.
Задание: шар в кубе
Шар радиусом 3 см, куб с ребром 5 см. Найди диаметр шара и ответь, поместится ли он.
Сравнивать с ребром куба нужно диаметр шара.
d = 2 · 3 = 6 см, 6 > 5.
Шар радиусом 3 см, куб с ребром 5 см. Найди диаметр шара и ответь, поместится ли он.
Сравнивать с ребром куба нужно диаметр шара. d = 2 · 3 = 6 см, 6 > 5.
Над полюсом
Соответствующая сцена источника ↗Полярная крачка
Путь от полюса до полюса по поверхности — половина окружности.
Полярный диаметр Земли — диаметр от полюса до полюса, 12 714 км.
½ · 3,14 · 12 714 ≈ 19 961 км.
Правило в копилку: Путь по поверхности шара через полюса — половина окружности его большого сечения.
Прогноз штурмана
Рикки срезает по 60-й параллели, Миша летит по экватору. Радиус Земли 6400 км, радиус 60-й параллели — вдвое меньше. Во сколько раз параллель короче экватора?
«почти одинаковы» — ×2
«в 2 раза» — ×2
«в 4 раза» — ×2
Прогноз штурмана С3.4: Рикки срезает по 60-й параллели, Миша летит по экватору. Радиус Земли 6400 км, радиус 60-й параллели — вдвое меньше. Во сколько раз параллель короче экватора?
Ставка в искрах — прогноз, не ответ: оценки нет.
Экватор и параллель
Экватор — окружность сечения через центр: r = 6400 км.
60-я параллель — окружность сечения с радиусом 3200 км.
40 192 − 20 096 = 20 096 км.
Правило в копилку: Параллель — окружность сечения. Её длину считают по радиусу этого сечения.
Задание: ещё две
Реши две задачи банка: радиус вырос на 2 см — на сколько выросла длина окружности? Площадь 113,04 м² — какой радиус?
Две задачи из урока 10 «Круг и окружность»: «Плюс два сантиметра» и «По площади радиус».
Лесенка та же: вопрос, формула, решение.
Реши две задачи банка: радиус вырос на 2 см — на сколько выросла длина окружности? Площадь 113,04 м² — какой радиус?
Две задачи из урока 10 «Круг и окружность»: «Плюс два сантиметра» и «По площади радиус». Лесенка та же: вопрос, формула, решение.
Табло перед тестом
Тест — как задание 14 ВПР: без калькулятора и подсказок, π = 3,14.
Шаги: формула, подстановка, вычисление, ответ с единицами.
8 баллов из 12 и больше — Миша берёт кубок.
Тест ВПР
Шесть задач как задание 14 ВПР: формула, подстановка, вычисление, ответ с единицами. Калькулятора и подсказок нет, π = 3,14 (или как сказано в задаче).
Радиус окружности равен 35 см. Найдите длину данной окружности. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Радиус окружности, ограничивающей круг, равен 7 см. Найдите площадь данного круга. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Радиус окружности, ограничивающей круг, равен 15 см. Найдите площадь данного круга. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Радиус окружности равен 19 см. Найдите длину данной окружности. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Радиус окружности, ограничивающей круг, равен 10 см. Найдите площадь данного круга. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Радиус окружности равен 16 см. Найдите длину данной окружности. При вычислениях округляйте число π до 3,14.
Найдите диаметр окружности, если её длина равна 59,66 м. Принять π = 3,14.
Длина окружности 6,28 м. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. π = 3,14.
Забор вокруг круглой клумбы — 18,84 м. Найдите площадь клумбы. π = 3,14.
Колесо диаметром 50 см. Сколько оборотов оно сделает на пути 157 м? π = 3,14.
Верх окна — полукруг радиусом 4 дм. Найдите его площадь. π = 3.
Тест ВПР: 11 задач в наборе, в попытке 6
Тест как задание 14 ВПР: формула, подстановка, вычисление, ответ с единицами. 2 балла — верная формула и ответ с единицами; 1 — формула и подстановка верны, ошибка в вычислении; 0 — неверная формула.
Большой кубок
Банк искр ученика против банка Рикки: какие прогнозы сбылись и почему.
Итоги и копилка трёх серий
Окружность — граница круга, сфера — граница шара.
C = πd, S = πr².