Синус и косинус

Синус и косинус проходят на геометрии в 8 классе. Многие их уже не помнят. Это нормально.

Сейчас мы вспомним всё по шагам. Заранее знать ничего не нужно. Повторение — мать учения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Это треугольник, в котором один угол равен $90^\circ$. Два других угла острые, то есть меньше $90^\circ$.

Выберем один из острых углов. Пусть это угол $\varphi$.

Относительно угла $\varphi$ стороны треугольника называются так:

• Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла. Это самая длинная сторона.

• Противолежащий катет — сторона, которая лежит напротив угла $\varphi$. Она не касается угла $\varphi$.

• Прилежащий катет — сторона, которая вместе с гипотенузой образует угол $\varphi$.

Две стороны, которые образуют прямой угол, называются катеты. Противолежащий и прилежащий катеты — это они.

Важно. Названия катетов зависят от выбранного угла. Если выбрать другой острый угол, катеты поменяются названиями. Гипотенуза не меняется.

Как найти противолежащий катет. Найди угол $\varphi$. Найди катет, который не касается угла $\varphi$. Это противолежащий катет. Второй катет — прилежащий.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Прямой угол — при вершине $C$. Катеты: $AC=3$ и $BC=4$.

Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

Рассмотрим угол $\varphi$ при вершине $A$. Относительно угла $\varphi$:

• гипотенуза — $AB=5$;

• противолежащий катет — $BC=4$. Он лежит напротив угла $\varphi$;

• прилежащий катет — $AC=3$. Вместе с гипотенузой $AB$ он образует угол $\varphi$.

Косинус угла $\varphi$ — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу:

Синус угла $\varphi$ — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу:

Для любого прямоугольного треугольника и любого его острого угла $\varphi$ синус и косинус считаются так же:

В разделе 1.3 мы посчитали $\sin\varphi$ в конкретном треугольнике со сторонами $3$, $4$, $5$. Но угол $\varphi$ можно нарисовать в разных прямоугольных треугольниках — больших и маленьких. Возникает вопрос: если взять другой треугольник с тем же углом $\varphi$, получится другое число? Нет. Сейчас покажем почему.

Возьмём любой другой прямоугольный треугольник, в котором тоже есть угол $\varphi$.

У двух треугольников совпадают два угла: прямой угол и угол $\varphi$. Тогда совпадает и третий угол, потому что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Треугольники, у которых все углы одинаковые, называются подобными. Один из них получается из другого увеличением или уменьшением — как при зуме на телефоне. При зуме форма картинки не меняется, меняется только размер. Все стороны умножаются на одно и то же число.

Например, увеличим наш треугольник в $2$ раза. Катеты станут $6$ и $8$, гипотенуза — $10$. Угол $\varphi$ не изменится. Посчитаем синус:

Получилось то же число, что и раньше.

Так будет для любого подобного треугольника. Противолежащий катет и гипотенуза умножаются на одно и то же число, поэтому их отношение не меняется. С косинусом то же самое.

Вывод. Синус и косинус мы считаем в конкретном треугольнике. Но ответ не зависит от того, какой треугольник мы нарисовали. Важна только величина угла $\varphi$. Любой прямоугольный треугольник с этим углом даст те же $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$.

Для каких углов работает это определение. Угол $\varphi$ здесь — острый угол прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике острый угол всегда больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Поэтому сейчас мы умеем находить синус и косинус только для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, не включая сами $0^\circ$ и $90^\circ$:

Для других углов определение через треугольник не работает. Это мы исправим в разделе 2.

Синус и косинус углов $30^\circ$, $60^\circ$ и $45^\circ$ нужны постоянно. Их называют табличными значениями.

Табличные значения нужно выучить наизусть. В задачах ЕГЭ их не выводят заново — их просто знают. Ниже показано, откуда они берутся. Вывод нужен, чтобы понять значения и проверить себя, если что-то забылось. Он не заменяет заучивание.

Углы $30^\circ$ и $60^\circ$: равносторонний треугольник.

1. Нарисуем равносторонний треугольник $MNK$ со стороной $2$. У равностороннего треугольника все стороны равны и все углы равны $60^\circ$.

2. Проведём высоту $NH$ из вершины $N$ на сторону $MK$. Высота образует со стороной $MK$ угол $90^\circ$. Получились два прямоугольных треугольника: $MNH$ и $KNH$.

3. В равностороннем треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой.

4. Рассмотрим треугольник $MNH$. Угол при $H$ равен $90^\circ$. Угол при $M$ равен $60^\circ$. Угол при $N$ равен $30^\circ$.

5. Стороны треугольника $MNH$:

Теперь считаем по определению.

Угол $30^\circ$ (при вершине $N$): противолежащий катет — $MH=1$, прилежащий катет — $NH=\sqrt{3}$, гипотенуза — $MN=2$.

Угол $60^\circ$ (при вершине $M$): противолежащий катет — $NH=\sqrt{3}$, прилежащий катет — $MH=1$, гипотенуза — $MN=2$.

Угол $45^\circ$: квадрат.

1. Нарисуем квадрат со стороной $1$.

2. Проведём диагональ. Она делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника.

3. В каждом таком треугольнике оба катета равны $1$. Диагональ делит прямые углы квадрата пополам, поэтому оба острых угла равны $90^\circ:2=45^\circ$.

4. Гипотенуза — диагональ. По теореме Пифагора она равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

5. Для угла $45^\circ$ противолежащий катет равен $1$, прилежащий катет равен $1$, гипотенуза равна $\sqrt{2}$.

Итоговая таблица. Её нужно знать наизусть.

Что видно в таблице. Синус $30^\circ$ равен косинусу $60^\circ$. Косинус $30^\circ$ равен синусу $60^\circ$.

Причина: $30^\circ+60^\circ=90^\circ$. Это два острых угла одного прямоугольного треугольника. Катет, который лежит напротив угла $30^\circ$, вместе с гипотенузой образует угол $60^\circ$. Поэтому для угла $30^\circ$ он противолежащий, а для угла $60^\circ$ — прилежащий.

Это верно для любого угла $\varphi$ от $0^\circ$ до $90^\circ$:

**Что такое синус острого угла $\varphi$ прямоугольного треугольника?**

Синус угла $\varphi$ — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу. Иначе: отношение противолежащего катета к гипотенузе.

**Что такое косинус острого угла $\varphi$ прямоугольного треугольника?**

Косинус угла $\varphi$ — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Иначе: отношение прилежащего катета к гипотенузе.

**Какой катет называется противолежащим углу $\varphi$, а какой — прилежащим?**

Противолежащий катет лежит напротив угла $\varphi$ и не касается его. Прилежащий катет вместе с гипотенузой образует угол $\varphi$.

**Треугольник увеличили в $2$ раза, угол $\varphi$ не изменился. Изменился ли $\sin\varphi$? Почему?**

Нет. Противолежащий катет и гипотенуза умножились на одно и то же число, а их отношение не изменилось. Синус и косинус зависят только от угла, а не от размера треугольника.

**Чему равен $\sin 30^\circ$?**

$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$.

**Чему равен $\cos 30^\circ$?**

$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

**Чему равен $\sin 60^\circ$?**

$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

**Чему равен $\cos 60^\circ$?**

$\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$.

**Чему равны $\sin 45^\circ$ и $\cos 45^\circ$?**

$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, то же самое, что $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

**В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13$, прилежащий катет угла $\varphi$ равен $5$. Найди $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$.**

Противолежащий катет: $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$. $\sin\varphi=\frac{12}{13}$, $\cos\varphi=\frac{5}{13}$.

**Почему $\sin 30^\circ=\cos 60^\circ$?**

$30^\circ+60^\circ=90^\circ$: это два острых угла одного прямоугольного треугольника. Катет, противолежащий углу $30^\circ$, прилежит к углу $60^\circ$. Поэтому $\cos\varphi=\sin(90^\circ-\varphi)$.

Определение через треугольник работает только для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$. Однако бывают и другие углы.

• Тупые углы — больше $90^\circ$. Например, $120^\circ$.

• Угол $180^\circ$ — развёрнутый угол. Его стороны лежат на одной прямой.

• Угол $360^\circ$ — полный оборот. Многие слышали выражение «развернуться на $360^\circ$»: это значит повернуться полностью и снова смотреть в ту же сторону.

В прямоугольном треугольнике таких углов нет. Но оказывается, что синус и косинус этих углов тоже можно определить. Причём новое определение будет согласовано с определением выше: для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ оно даст те же числа.

Для этого нам понадобится новое понятие — тригонометрическая окружность.

Чтобы расширить определение синуса и косинуса на другие углы, не только от $0^\circ$ до $90^\circ$, сделаем следующую конструкцию. Нарисуем так называемую тригонометрическую окружность и построим её по шагам.

1. Нарисуем горизонтальную ось координат. Назовём её ось $\cos$.

2. Нарисуем вертикальную ось координат. Назовём её ось $\sin$.

3. Оси пересекаются в точке $O$. Координаты точки $O$: $(0;0)$.

4. Нарисуем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $1$. Она называется единичная окружность, или тригонометрическая окружность.

5. Отметим точку $E$. Она лежит на окружности справа, на оси $\cos$. Если представить карту, это восток. Поэтому точка называется $E$ — от английского *East*, «восток». Координаты точки $E$: $(1;0)$.

Возьмём ниточку положительной длины $\alpha$ (альфа). Ниточка не растягивается.

1. Приложим один конец ниточки к точке $E$.

2. Уложим ниточку по окружности против часовой стрелки.

3. Второй конец ниточки окажется в какой-то точке окружности. Подпишем эту точку буквой $\alpha$ — той же буквой, что и длину ниточки. Дальше будем называть её точка $\alpha$.

Каждой длине ниточки соответствует одна точка на окружности.

Теперь нарисуем короткую ниточку и посмотрим на её конец.

1. Из точки $\alpha$ проведём вертикальную линию до оси $\cos$. Число, в которое она попала на оси $\cos$, будем называть косинусом $\alpha$ и обозначать $\cos\alpha$.

2. Из точки $\alpha$ проведём горизонтальную линию до оси $\sin$. Число, в которое она попала на оси $\sin$, будем называть синусом $\alpha$ и обозначать $\sin\alpha$.

Это и есть определение.

Определение. Уложим ниточку длины $\alpha$ по единичной окружности от точки $E=(1;0)$ против часовой стрелки. Её конец — точка $\alpha$. Косинус $\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\cos$. Синус $\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\sin$. Координаты точки $\alpha$: $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$.

Заметим: для короткой ниточки новое определение даёт те же числа, что и прямоугольный треугольник. Проверим.

Проведём отрезок из точки $O$ в точку $\alpha$. Он образует с отрезком $OE$ угол. Назовём этот угол $\varphi$ и будем мерить его в градусах, как в разделах 1.2–1.5. Пока ниточка короткая и точка $\alpha$ в правой верхней четверти, угол $\varphi$ больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

Вертикальная линия из точки $\alpha$ попадает на ось $\cos$ в точку $H$. Получаем прямоугольный треугольник: вершины $O$, $H$ и точка $\alpha$, прямой угол при $H$.

• Гипотенуза — отрезок от $O$ до точки $\alpha$. Это радиус, он равен $1$.

• Прилежащий катет угла $\varphi$ — $OH$. Он лежит на оси $\cos$. Его длина равна координате точки $\alpha$ по оси $\cos$.

• Противолежащий катет угла $\varphi$ — вертикальная линия от $H$ до точки $\alpha$. Его длина равна координате точки $\alpha$ по оси $\sin$.

По определению из 1.3 косинус угла $\varphi$ равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу. Гипотенуза равна $1$, поэтому $\cos\varphi$ равен самому прилежащему катету, то есть координате по оси $\cos$. Это $\cos\alpha$. Так же $\sin\varphi$ равен противолежащему катету, то есть координате по оси $\sin$. Это $\sin\alpha$.

Числа совпали. Поэтому оси так и называются: косинус читается на оси $\cos$, синус читается на оси $\sin$.

Ниточка $\alpha$ и угол $\varphi$ описывают один и тот же поворот. Найдём, как связаны числа.

Длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$. У нас $R=1$. Значит, длина всей окружности равна $2\pi$. Число $\pi$ примерно равно $3{,}14$, поэтому $2\pi$ примерно равно $6{,}28$.

Главное соответствие: ниточка длины $\pi$ — это угол $180^\circ$. Отсюда получаются остальные:

Например, $30^\circ$ — это $\frac{1}{6}$ от $180^\circ$. Значит, ниточка — это $\frac{1}{6}$ от $\pi$, то есть $\frac{\pi}{6}$.

Измерять угол длиной ниточки на единичной окружности называют радианной мерой. Ниточка длины $\alpha$ задаёт угол $\alpha$ радиан.

Поэтому $\sin\frac{\pi}{6}$ — это то же самое, что $\sin 30^\circ$. Табличные значения из 1.5 можно записывать и через $\pi$:

Главное соответствие: ниточка длины $\pi$ — это угол $180^\circ$. Отсюда получаются остальные:

$\alpha=0$ (угол $0^\circ$). Ниточки нет. Точка $\alpha$ совпадает с $E=(1;0)$. Значит, $\cos 0=1$, $\sin 0=0$.

$\alpha=\frac{\pi}{2}$ (угол $90^\circ$). Четверть окружности. Точка $\alpha$ — верхняя, $(0;1)$. Значит, $\cos\frac{\pi}{2}=0$, $\sin\frac{\pi}{2}=1$.

$\alpha=\pi$ (угол $180^\circ$). Половина окружности. Точка $\alpha$ — левая, $(-1;0)$. Значит, $\cos\pi=-1$, $\sin\pi=0$.

$\alpha=\frac{2\pi}{3}$ (угол $120^\circ$).

1. Точка $\frac{\pi}{3}$ имеет координаты $\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Это табличные значения: $\cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Точка $\frac{\pi}{3}$ отстоит от правого конца оси $\cos$ на ниточку длины $\frac{\pi}{3}$.

3. Точка $\frac{2\pi}{3}$ не доходит до левого конца оси $\cos$ на ниточку длины $\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$.

4. Значит, эти две точки симметричны относительно оси $\sin$.

5. При такой симметрии координата по оси $\sin$ не меняется. Координата по оси $\cos$ меняет знак.

6. Точка $\frac{2\pi}{3}$ имеет координаты $\left(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Косинус получился отрицательным. В треугольнике так быть не может. На окружности может: точка $\frac{2\pi}{3}$ лежит левее оси $\sin$.

До сих пор ниточка была положительной длины и не длиннее окружности. Теперь разрешим любое число $\alpha$. Для этого нужны два правила.

Правило 1. Направление зависит от знака $\alpha$.

• Если $\alpha$ положительное, укладываем ниточку против часовой стрелки.

• Если $\alpha$ отрицательное, укладываем ниточку по часовой стрелке. Длина ниточки при этом — число $\alpha$ без минуса.

Например, $\alpha=-\frac{\pi}{2}$. Берём ниточку длины $\frac{\pi}{2}$ и укладываем от точки $E$ по часовой стрелке. Это четверть окружности вниз. Точка $-\frac{\pi}{2}$ — нижняя, $(0;-1)$. Значит, $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$.

Правило 2. Длинная ниточка наматывается, как на моток.

Если ниточка длиннее окружности, то есть длиннее $2\pi$, она не заканчивается в точке $E$. Она идёт на второй круг, потом на третий, и так далее. Мы наматываем её, пока ниточка не кончится.

Например, $\alpha=\frac{13\pi}{6}$. Это $2\pi+\frac{\pi}{6}$.

1. Первые $2\pi$ ниточки — это один полный оборот. Конец возвращается в точку $E$.

2. Остаток ниточки — $\frac{\pi}{6}$. Укладываем его дальше против часовой стрелки.

3. Точка $\frac{13\pi}{6}$ совпадает с точкой $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $\sin\frac{13\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ и $\cos\frac{13\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Длинная отрицательная ниточка наматывается так же, только по часовой стрелке.

Что получилось.

Для любого числа $\alpha$ получается одна точка на окружности. Значит, синус и косинус определены для любого числа $\alpha$.

Каждые $2\pi$ ниточки — это полный оборот. После полного оборота конец ниточки возвращается в ту же точку. Поэтому $\alpha$ и $\alpha+2\pi$ дают одну и ту же точку и одинаковые синус и косинус.

Длина отрезка не бывает отрицательной. Координата точки бывает отрицательной. Знак координаты показывает, с какой стороны от оси лежит точка.

• Точка $\alpha$ правее оси $\sin$ — косинус положительный.

• Точка $\alpha$ левее оси $\sin$ — косинус отрицательный.

• Точка $\alpha$ выше оси $\cos$ — синус положительный.

• Точка $\alpha$ ниже оси $\cos$ — синус отрицательный.

Точка $\alpha$ лежит на окружности радиуса $1$. Поэтому каждая её координата не больше $1$ и не меньше $-1$. Для любого $\alpha$:

Если в решении получилось, например, $\sin\alpha=1{,}2$, в решении ошибка.

Итог

1. Для угла $\varphi$ от $0^\circ$ до $90^\circ$: синус равен противолежащему катету, делённому на гипотенузу. Косинус равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу.

2. Синус и косинус зависят только от угла. Размер треугольника не важен.

3. Значения для $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ нужно знать наизусть. Проверить их можно по равностороннему треугольнику и квадрату.

4. Тригонометрическая окружность: ось $\cos$, ось $\sin$, центр $O$, радиус $1$, точка $E=(1;0)$.

5. Ниточка длины $\alpha$ от точки $E$ заканчивается в точке $\alpha$. $\cos\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\cos$. $\sin\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\sin$.

6. Для короткой ниточки это те же числа, что в треугольнике.

7. Длина всей окружности — $2\pi$. Ниточка длины $\pi$ — это угол $180^\circ$.

8. $\alpha>0$ — против часовой стрелки, $\alpha<0$ — по часовой. Длинная ниточка наматывается на несколько оборотов. Синус и косинус определены для любого числа $\alpha$.

9. Синус и косинус могут быть отрицательными. Они всегда от $-1$ до $1$.

**Где на тригонометрической окружности лежит точка E? Какие у неё координаты?**

Справа, на оси $\cos$: там, где окружность пересекает эту ось. Координаты $E=(1;0)$. Название — от английского East, «восток».

**Дай определение косинуса числа α через ниточку.**

Уложим ниточку длины $\alpha$ по единичной окружности от точки $E=(1;0)$ против часовой стрелки. Её конец — точка $\alpha$. Косинус $\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\cos$.

**А что такое синус числа α на окружности?**

Синус $\alpha$ — координата точки $\alpha$ по оси $\sin$: из точки $\alpha$ проводим горизонтальную линию до оси $\sin$. Координаты точки $\alpha$: $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$.

**Чему равна длина всей единичной окружности? Какому углу в градусах она соответствует?**

$2\pi$ (примерно $6{,}28$). Вся окружность — это $360^\circ$.

**Ниточка длины $\pi$: какая это часть окружности и какой угол в градусах?**

Половина окружности, угол $180^\circ$. Это главное соответствие: $\pi$ — это $180^\circ$.

**Сколько градусов в угле $\frac{\pi}{2}$? А в $\frac{3\pi}{2}$?**

$\frac{\pi}{2}$ — это $90^\circ$ (четверть окружности), $\frac{3\pi}{2}$ — это $270^\circ$ (три четверти).

**Сколько градусов в угле $\frac{\pi}{6}$? Объясни через $180^\circ$.**

$30^\circ$: $\frac{\pi}{6}$ — это $\frac{1}{6}$ от $\pi$, а $\frac{1}{6}$ от $180^\circ$ — это $30^\circ$.

**Сколько градусов в углах $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$?**

$\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.

**Чему равен $\sin\frac{\pi}{6}$? Как он связан с $\sin 30^\circ$?**

$\frac{\pi}{6}$ радиан — это $30^\circ$, поэтому $\sin\frac{\pi}{6}$ и $\sin 30^\circ$ — одно и то же число: $\sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$.

**Чему равен $\cos\frac{\pi}{3}$?**

$\frac{\pi}{3}=60^\circ$, поэтому $\cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$.

**Как укладывать ниточку, если $\alpha$ отрицательное? Где окажется точка $-\frac{\pi}{2}$?**

По часовой стрелке; длина ниточки — число $\alpha$ без минуса. Точка $-\frac{\pi}{2}$ — нижняя точка окружности, $(0;-1)$.

**Чему равен $\sin\frac{13\pi}{6}$?**

$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}$. После полного оборота точка совпадает с точкой $\frac{\pi}{6}$, поэтому $\sin\frac{13\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

**Может ли $\sin\alpha$ равняться $1{,}2$? Почему?**

Нет. Точка $\alpha$ лежит на окружности радиуса $1$, поэтому каждая её координата от $-1$ до $1$: $-1\le\sin\alpha\le 1$.