← Вернуться в интерактивный урок

Математика · 5 класс · Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда

Полный материал для спокойного чтения. Работает без JavaScript.

Привет! Сегодня — объём

Объём показывает, сколько места занимает предмет и сколько в него помещается.
Вопрос урока (учебник, № 4.159 а): бассейн длиной 50 м, шириной 24 м и глубиной 2 м. Сколько воды нужно, чтобы его наполнить? Ответ — в последнем видео.
Соответствующая сцена источника ↗

Вспоминаем площадь и коробку

Площадь показывает, сколько квадратиков помещается в фигуру. Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: S=abS=ab. Прямоугольник 5×25\times2 см покрывают 5⋅2=105\cdot2=10 квадратиков, S=10 см2S=10\ \text{см}^2.
Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников — граней. Стороны граней — рёбра, их 12. Вершин 8 (учебник, с. 146).
Из каждой вершины выходят три ребра. Их длины — измерения параллелепипеда: длина aa, ширина bb, высота cc. Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы (с. 147).
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: площадь и коробка

Пять заданий в мире Minecraft. Сначала ответь или сделай сам, потом картинка покажет, верно ли.
Пол 6 × 3 блока. Первый ряд уже уложен. Сколько плит нужно на весь пол?
Сколько граней у этой коробки? Ответь, а потом развернём её и проверим.
Найди все рёбра коробки: нажимай на них. Спрятанные сзади рёбра показаны пунктиром.
Построй склад: длина 4 блока, ширина 2 блока, высота 3 блока.
Отметь все прямоугольные параллелепипеды.
Пол 6 × 3 блока. Первый ряд уже уложен. Сколько плит нужно на весь пол?

В ряду 6 плит, рядов 3: 6⋅3=186\cdot3=18. Площадь пола — 18 м218\ \text{м}^2: длина, умноженная на ширину.

Сколько граней у этой коробки? Ответь, а потом развернём её и проверим.

Граней шесть: верх и низ, перед и зад, левая и правая.

Найди все рёбра коробки: нажимай на них. Спрятанные сзади рёбра показаны пунктиром.

Рёбер двенадцать: 4+4+4=124+4+4=12.

Построй склад: длина 4 блока, ширина 2 блока, высота 3 блока.

Длина, ширина и высота — три измерения: 4, 2 и 3 блока.

Отметь все прямоугольные параллелепипеды.

Куб и брус — прямоугольные параллелепипеды. Ступеньки и уголок — нет: их поверхность состоит не из шести прямоугольников (учебник, с. 147).

Соответствующая сцена источника ↗

Что такое объём

В литровое ведёрко можно налить бензин, масло или мёд. Масса будет разной, а объём — один и тот же (учебник, с. 150).
Свойства объёма: равные фигуры имеют равные объёмы; объём всей фигуры равен сумме объёмов её частей.
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, наполни первый водой и перелей во второй. Вода кончилась, второй не заполнился — объём первого меньше. Второй заполнился ровно — объёмы равны. Второй заполнился, а в первом осталась вода — объём первого больше.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: сравни объёмы

Три задания. Переливай, считай и сравнивай.
Перелей воду из 1-го сосуда во 2-й. Какой сосуд вмещает больше?
Фигуру из 7 кубиков разделили на две части. В одной части 4 кубика. Сколько кубиков в другой?
Могут ли равные фигуры иметь разные объёмы?
Перелей воду из 1-го сосуда во 2-й. Какой сосуд вмещает больше?

Вся вода из 1-го сосуда поместилась во 2-й, и он не заполнился. Значит, объём 1-го меньше: 6<86<8.

Фигуру из 7 кубиков разделили на две части. В одной части 4 кубика. Сколько кубиков в другой?

7−4=37-4=3 кубика.

Могут ли равные фигуры иметь разные объёмы?

Нет. Равные фигуры имеют равные объёмы (учебник, с. 150).

Соответствующая сцена источника ↗

Чем измеряют объём

Единицы объёма: мм3\text{мм}^3, см3\text{см}^3, дм3\text{дм}^3, м3\text{м}^3, км3\text{км}^3.
Кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см. Кубический дециметр называют также литром, а кубический сантиметр — миллилитром: 1 л=1 дм31\ \text{л}=1\ \text{дм}^3, 1 мл=1 см31\ \text{мл}=1\ \text{см}^3 (с. 150).
Фигура из 5 кубиков с ребром 1 см имеет объём 5 см35\ \text{см}^3 при любой форме.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: кубики

Объём измеряют кубиками. Строй, считай и проверяй.
Построй любую фигуру из 6 блоков. Потом сравни её с брусом.
Фигура состоит из 14 кубиков с ребром 1 дм. Чему равен её объём в кубических дециметрах?
Сколько миллилитров в кубике с ребром 1 см?
Построй любую фигуру из 6 блоков. Потом сравни её с брусом.

В твоей фигуре 6 блоков, в брусе 3⋅2=63\cdot2=6. Объёмы равны, хотя форма разная.

Фигура состоит из 14 кубиков с ребром 1 дм. Чему равен её объём в кубических дециметрах?

14 дм314\ \text{дм}^3, то есть 14 литров (вопрос учебника, с. 151).

Сколько миллилитров в кубике с ребром 1 см?

1 см3=1 мл1\ \text{см}^3=1\ \text{мл}.

Соответствующая сцена источника ↗

Считаем кубики слоями

Коробку 5×2×35\times2\times3 см разбиваем на кубики с ребром 1 см: 3 слоя, в слое 2 полоски, в полоске 5 кубиков. Объём: (2⋅5)⋅3=30 см3(2\cdot5)\cdot3=30\ \text{см}^3 (с. 150, рис. 4.29).
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения: V=abcV=abc (с. 151). Читается: «вэ равно а бэ цэ».
Все три измерения должны быть в одних единицах: 4 дм 2 см=42 см4\ \text{дм}\ 2\ \text{см}=42\ \text{см}.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: собери коробку

Строим коробки из блоков. Сначала скажи или напиши ответ, потом смотри, как коробка заполняется слоями.
Склад: длина 4 блока, ширина 3 блока, высота 2 блока. Сколько блоков нужно?
4.152 а) Найди объём: a=7a=7 см, b=4b=4 см, c=10c=10 см. Ответ в кубических сантиметрах.
4.152 в) Найди объём: a=4a=4 дм 2 см, b=1b=1 дм 3 см, c=80c=80 см. Ответ в кубических сантиметрах.
4.158. Какая коробка вместительнее?
Склад: длина 4 блока, ширина 3 блока, высота 2 блока. Сколько блоков нужно?

В слое 4⋅3=124\cdot3=12 блоков, слоёв 2: 12⋅2=2412\cdot2=24.

4.152 а) Найди объём: a=7a=7 см, b=4b=4 см, c=10c=10 см. Ответ в кубических сантиметрах.

V=7⋅4⋅10=280 см3V=7\cdot4\cdot10=280\ \text{см}^3.

4.152 в) Найди объём: a=4a=4 дм 2 см, b=1b=1 дм 3 см, c=80c=80 см. Ответ в кубических сантиметрах.

V=42⋅13⋅80=546⋅80=43 680 см3V=42\cdot13\cdot80=546\cdot80=43\,680\ \text{см}^3.

4.158. Какая коробка вместительнее?

Первая: 1620 см3>1080 см31620\ \text{см}^3>1080\ \text{см}^3.

Соответствующая сцена источника ↗

Объём куба

Объём куба с ребром aa равен a⋅a⋅a=a3a\cdot a\cdot a=a^3: V=a3V=a^3. Поэтому запись a3a^3 называют кубом числа aa (с. 151).
Пример: ребро 5 мм, объём 53=125 мм35^3=125\ \text{мм}^3.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: куб

У куба все рёбра равны. Подбирай ребро и считай объём.
Подбери ребро куба так, чтобы в нём было ровно 64 блока.
4.155 а) Ребро куба 9 м. Найди объём в кубических метрах.
4.161. Найди ребро куба (в сантиметрах), объём которого равен объёму коробки 9×4×69\times4\times6 см.
Ребро куба 3 см. Верно ли, что его объём 3⋅3=9 см33\cdot3=9\ \text{см}^3?
Подбери ребро куба так, чтобы в нём было ровно 64 блока.

4⋅4⋅4=644\cdot4\cdot4=64: ребро 4 блока.

4.155 а) Ребро куба 9 м. Найди объём в кубических метрах.

V=93=729 м3V=9^3=729\ \text{м}^3.

4.161. Найди ребро куба (в сантиметрах), объём которого равен объёму коробки 9×4×69\times4\times6 см.

216=6⋅6⋅6216=6\cdot6\cdot6, ребро 6 см.

Ребро куба 3 см. Верно ли, что его объём 3⋅3=9 см33\cdot3=9\ \text{см}^3?

Неверно: 3⋅3⋅3=27 см33\cdot3\cdot3=27\ \text{см}^3. 3⋅33\cdot3 — это площадь одной грани.

Соответствующая сцена источника ↗

Почему в кубометре тысяча литров

В 1 дм 10 см. Вдоль длины помещается полоска из 10 кубиков, вдоль ширины 10 полосок (слой из 100), вдоль высоты 10 слоёв: 1 дм3=1000 см31\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3.
1 л=1 дм3=1000 см31\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3; 1 м3=1000 дм3=1000 л1\ \text{м}^3=1000\ \text{дм}^3=1000\ \text{л}; 1 см3=1000 мм31\ \text{см}^3=1000\ \text{мм}^3; 1 км3=1 000 000 000 м31\ \text{км}^3=1\,000\,000\,000\ \text{м}^3 (с. 151).
Длина отличается в 10 раз, а объём — в 10⋅10⋅10=100010\cdot10\cdot10=1000 раз.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: тысяча кубиков

Кубический дециметр складывается из 1000 кубиков по 1 см³. Предскажи, потом смотри.
Заполни кубический дециметр кубиками по 1 см³. Перед каждым шагом скажи, сколько кубиков понадобится.
Выразите 20 дм320\ \text{дм}^3 в кубических сантиметрах.
Сколько кубических сантиметров в 5 литрах?
4.157 а) Выразите 6 см3 724 мм36\ \text{см}^3\ 724\ \text{мм}^3 в кубических миллиметрах.
Заполни кубический дециметр кубиками по 1 см³. Перед каждым шагом скажи, сколько кубиков понадобится.

Полоска — 10 кубиков, слой — 10⋅10=10010\cdot10=100, куб — 10⋅100=100010\cdot100=1000. 1 дм3=1000 см31\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3.

Выразите 20 дм320\ \text{дм}^3 в кубических сантиметрах.

20 дм3=20 000 см320\ \text{дм}^3=20\,000\ \text{см}^3 (проверочная работа № 1, с. 154).

Сколько кубических сантиметров в 5 литрах?

5 л=5000 см35\ \text{л}=5000\ \text{см}^3.

4.157 а) Выразите 6 см3 724 мм36\ \text{см}^3\ 724\ \text{мм}^3 в кубических миллиметрах.

6000+724=6724 мм36000+724=6724\ \text{мм}^3.

Соответствующая сцена источника ↗

Дно и высота. Задача про бассейн

Один слой коробки содержит столько кубиков, сколько квадратиков покрывают её дно. Поэтому объём — это площадь дна (основания), умноженная на высоту: V=S⋅cV=S\cdot c.
Если известны объём и площадь основания, высота равна объёму, делённому на площадь основания: 224:32=7224:32=7 см (задача 4.153).
Бассейн: S=50⋅24=1200 м2S=50\cdot24=1200\ \text{м}^2, V=1200⋅2=2400 м3V=1200\cdot2=2400\ \text{м}^3, это 2 400 0002\,400\,000 литров.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: дно и высота

Объём — это площадь дна, умноженная на высоту. Найди то, чего не хватает.
4.153. Площадь верхней грани 32 см232\ \text{см}^2, объём 224 см3224\ \text{см}^3. Найди высоту в сантиметрах.
ВПР. Коробка объёмом 9240 см39240\ \text{см}^3, длина 24 см, ширина 11 см. Найди высоту в сантиметрах.
ВПР. Коробка объёмом 42 900 см342\,900\ \text{см}^3, высота 55 см. Найди площадь дна в квадратных сантиметрах.
4.175. Амбар 25×425\times4 м засыпан зерном на высоту 2 м. Масса 1 м31\ \text{м}^3 зерна — 765 кг. Сколько тонн зерна в амбаре?
4.153. Площадь верхней грани 32 см232\ \text{см}^2, объём 224 см3224\ \text{см}^3. Найди высоту в сантиметрах.

224:32=7224:32=7 см.

ВПР. Коробка объёмом 9240 см39240\ \text{см}^3, длина 24 см, ширина 11 см. Найди высоту в сантиметрах.

9240:(24⋅11)=9240:264=359240:(24\cdot11)=9240:264=35 см.

ВПР. Коробка объёмом 42 900 см342\,900\ \text{см}^3, высота 55 см. Найди площадь дна в квадратных сантиметрах.

42 900:55=780 см242\,900:55=780\ \text{см}^2.

4.175. Амбар 25×425\times4 м засыпан зерном на высоту 2 м. Масса 1 м31\ \text{м}^3 зерна — 765 кг. Сколько тонн зерна в амбаре?

200⋅765=153 000200\cdot765=153\,000 кг =153=153 т.

Соответствующая сцена источника ↗