← Вернуться в интерактивный урок

Математика · 5 класс · Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда — коротко

Полный материал для спокойного чтения. Работает без JavaScript.

Что такое объём

В литровое ведёрко можно налить воду, масло или мёд. Масса будет разной, а объём — один и тот же (учебник, с. 150).
Свойства объёма: равные фигуры имеют равные объёмы; объём всей фигуры равен сумме объёмов её частей.
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, наполни первый водой и перелей во второй. Вода кончилась, второй не заполнился — объём первого меньше. Второй заполнился ровно — объёмы равны. Второй заполнился, а в первом осталась вода — объём первого больше.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: сравни объёмы

Три задания. Переливай, считай и сравнивай.
Перелей воду из 1-го сосуда во 2-й. Какой сосуд вмещает больше?
Фигуру из 7 кубиков разделили на две части. В одной части 4 кубика. Сколько кубиков в другой?
Могут ли равные фигуры иметь разные объёмы?
Перелей воду из 1-го сосуда во 2-й. Какой сосуд вмещает больше?

Вся вода из 1-го сосуда поместилась во 2-й, и он не заполнился. Значит, объём 1-го меньше: 6<86<8.

Фигуру из 7 кубиков разделили на две части. В одной части 4 кубика. Сколько кубиков в другой?

7−4=37-4=3 кубика.

Могут ли равные фигуры иметь разные объёмы?

Нет. Равные фигуры имеют равные объёмы (учебник, с. 150).

Соответствующая сцена источника ↗

Считаем блоки слоями

Блок — куб с ребром 1 м, его объём — 1 м31\ \text{м}^3.
Склад 5×2×35\times2\times3 блока считаем по слоям: в слое 2 ряда по 5 блоков, это 10; слоёв 3, всего 10⋅3=3010\cdot3=30 блоков, объём 30 м330\ \text{м}^3.
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения: V=abcV=abc (с. 151).
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: коробка по слоям

Три задания. Сначала ответь, потом смотри, как коробка заполняется слоями.
Склад: длина 4 блока, ширина 3 блока, высота 2 блока. Сколько блоков нужно?
4.152 а) Найди объём: a=7a=7 см, b=4b=4 см, c=10c=10 см. Ответ в кубических сантиметрах.
4.158. Какая коробка вместительнее?
Склад: длина 4 блока, ширина 3 блока, высота 2 блока. Сколько блоков нужно?

В слое 4⋅3=124\cdot3=12 блоков, слоёв 2: 12⋅2=2412\cdot2=24.

4.152 а) Найди объём: a=7a=7 см, b=4b=4 см, c=10c=10 см. Ответ в кубических сантиметрах.

V=7⋅4⋅10=280 см3V=7\cdot4\cdot10=280\ \text{см}^3.

4.158. Какая коробка вместительнее?

Первая: 1620 см3>1080 см31620\ \text{см}^3>1080\ \text{см}^3.

Соответствующая сцена источника ↗

Дно и высота

Один слой содержит столько блоков, сколько квадратиков покрывают дно. Поэтому объём — это площадь дна (основания), умноженная на высоту: V=S⋅cV=S\cdot c.
Если известны объём и площадь основания, высота равна объёму, делённому на площадь основания: 224:32=7224:32=7 (задача 4.153).
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: дно и высота

Объём — это площадь дна, умноженная на высоту. Найди то, чего не хватает.
4.153. Площадь верхней грани 32 см232\ \text{см}^2, объём 224 см3224\ \text{см}^3. Найди высоту в сантиметрах.
ВПР. Коробка объёмом 9240 см39240\ \text{см}^3, длина 24 см, ширина 11 см. Найди высоту в сантиметрах.
ВПР. Коробка объёмом 42 900 см342\,900\ \text{см}^3, высота 55 см. Найди площадь дна в квадратных сантиметрах.
4.153. Площадь верхней грани 32 см232\ \text{см}^2, объём 224 см3224\ \text{см}^3. Найди высоту в сантиметрах.

224:32=7224:32=7 см.

ВПР. Коробка объёмом 9240 см39240\ \text{см}^3, длина 24 см, ширина 11 см. Найди высоту в сантиметрах.

9240:(24⋅11)=9240:264=359240:(24\cdot11)=9240:264=35 см.

ВПР. Коробка объёмом 42 900 см342\,900\ \text{см}^3, высота 55 см. Найди площадь дна в квадратных сантиметрах.

42 900:55=780 см242\,900:55=780\ \text{см}^2.

Соответствующая сцена источника ↗

Задача про бассейн

Бассейн 50×24×250\times24\times2 м (задача 4.159 а): площадь дна 50⋅24=1200 м250\cdot24=1200\ \text{м}^2, объём 1200⋅2=2400 м31200\cdot2=2400\ \text{м}^3.
В кубическом метре 1000 литров, поэтому в бассейн нужно 2 400 0002\,400\,000 литров воды.
Соответствующая сцена источника ↗

Сделай сам: бассейн

Три задания: два про детский бассейн и одно про амбар с зерном.
Детский бассейн: длина 10 м, ширина 5 м, глубина 1 м. Сколько кубических метров воды в него помещается?
Сколько литров воды помещается в этот детский бассейн (50 м350\ \text{м}^3)?
4.175. Амбар 25×425\times4 м засыпан зерном на высоту 2 м. Масса 1 м31\ \text{м}^3 зерна — 765 кг. Сколько тонн зерна в амбаре?
Детский бассейн: длина 10 м, ширина 5 м, глубина 1 м. Сколько кубических метров воды в него помещается?

V=10⋅5⋅1=50 м3V=10\cdot5\cdot1=50\ \text{м}^3.

Сколько литров воды помещается в этот детский бассейн (50 м350\ \text{м}^3)?

50⋅1000=50 00050\cdot1000=50\,000 литров.

4.175. Амбар 25×425\times4 м засыпан зерном на высоту 2 м. Масса 1 м31\ \text{м}^3 зерна — 765 кг. Сколько тонн зерна в амбаре?

200⋅765=153 000200\cdot765=153\,000 кг =153=153 т.

Соответствующая сцена источника ↗

Итоги урока

Что получилось хорошо и что стоит повторить: по каждому видео — задания после него.
Соответствующая сцена источника ↗