← Вернуться в интерактивный урок

Математика · профильный ЕГЭ · Тригонометрия с основ

Синус и косинус · версия Григория

Полный материал для спокойного чтения. Работает без JavaScript.

Синус и косинус

Возьмём прямоугольный треугольник и выберем острый угол xx. Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Из двух катетов один прилежит к углу xx, другой лежит напротив него.
sin⁡x=противолежащий катетгипотенуза,cos⁡x=прилежащий катетгипотенуза\sin x=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\qquad \cos x=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
Увеличим треугольник, сохраняя угол. Все стороны увеличатся в одинаковое число раз, а их отношения останутся прежними. Поэтому синус и косинус зависят от угла, а не от размера треугольника.
Для угла 45∘45^\circ катеты равны: по теореме Пифагора каждый равен гипотенузе, делённой на 2\sqrt{2}. Поэтому sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. Для угла 30∘30^\circ половина равностороннего треугольника даёт sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} и cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. У угла 60∘60^\circ эти значения меняются местами.
А что означает синус 120∘120^\circ? Такого острого угла в прямоугольном треугольнике нет. Чтобы ответить, расширим определение.
Гипотенуза равна 1010, катет напротив угла xx равен 66. Чему равен sin⁡x\sin x?

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: 610=35\frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Единичная окружность

Построим окружность радиуса 11 с центром в начале координат. Начальная точка — (1;0)(1; 0). Повернём радиус против часовой стрелки на угол xx. Такую окружность называют единичной, или тригонометрической.
В первой четверти опустим из точки перпендикуляр на горизонтальную ось. Гипотенуза полученного треугольника равна 11. Поэтому прилежащий катет равен cos⁡x\cos x, а противолежащий — sin⁡x\sin x.
P=(cos⁡x;sin⁡x)P=(\cos x;\sin x)
Для любого поворота определим косинус как горизонтальную координату точки PP, а синус — как вертикальную. За пределами первой четверти координаты могут быть отрицательными. Длина отрезка всегда неотрицательна; координата имеет знак.
Попробуй найти все точки с высотой 12\frac{1}{2} за один оборот. Их две: они на одной высоте, но по разные стороны вертикальной оси.
Точка единичной окружности имеет координаты (−45;35)(-\frac{4}{5}; \frac{3}{5}). Чему равен cos⁡x\cos x?

Косинус — первая, горизонтальная координата: −45-\frac{4}{5}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Длина дуги

Возьмём ниточку и уложим её по окружности от точки (1;0)(1; 0), без растяжения. Её конец отмечает точку, а радиус к этой точке задаёт угол поворота.
L=2πR.R=1  ⇒  L=2πL=2\pi R.\quad R=1\;\Rightarrow\;L=2\pi
Полный оборот — ниточка длиной 2π2\pi. Половина — π\pi. Четверть — π2\frac{\pi}{2}. На рисунке нижняя линейка показывает длину той же дуги, если её распрямить.
Один радиан — угол, которому соответствует дуга длиной в один радиус. Вообще радианная мера равна отношению длины дуги к радиусу: r=sRr = \frac{s}{R}. На единичной окружности R=1R = 1, поэтому r=sr = s.
Не перепутай: длина ниточки задаёт угол. Синус и косинус — координаты конца намотанной ниточки, а не её длина.
Ниточка длиной π2\frac{\pi}{2} уложена против часовой стрелки по окружности радиуса 11. Где её конец?

π2\frac{\pi}{2} — четверть полного оборота. Конец окажется в верхней точке (0;1)(0; 1).

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Радианная мера

Половина оборота равна 180∘180^\circ и одновременно π\pi радианам. Отсюда получаем взаимно однозначное соответствие между числовой мерой угла в градусах dd и в радианах rr.
r=d⋅π180,d=r⋅180πr=d\cdot\frac{\pi}{180},\qquad d=r\cdot\frac{180}{\pi}
30∘↔π6;45∘↔π4;60∘↔π3;90∘↔π2;180∘↔π;360∘↔2π30^\circ \leftrightarrow \frac{\pi}{6}; 45^\circ \leftrightarrow \frac{\pi}{4}; 60^\circ \leftrightarrow \frac{\pi}{3}; 90^\circ \leftrightarrow \frac{\pi}{2}; 180^\circ \leftrightarrow \pi; 360^\circ \leftrightarrow 2\pi. При переводе угол не меняется — меняется единица измерения.
Один радиан — это 180π\frac{180}{\pi} градусов, приблизительно 57,3∘57{,}3^\circ. В записи sin⁡x\sin x без значка градусов аргумент понимается в радианах.
Соответствие «градусная мера ↔ радианная мера» однозначно в обе стороны. А соответствие «число ↔ точка окружности» — нет: 00 и 2π2\pi являются разными числами, но приводят в одну точку.
Переведи 150∘150^\circ в радианы.

150⋅π180=5π6150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Углы больше полного оборота

Положительные углы отсчитываем против часовой стрелки, отрицательные — по часовой. Например, −π2-\frac{\pi}{2} приводит в нижнюю точку окружности.
Можно сделать полный оборот и продолжить: 2π+π6=13π62\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}. Конечная точка будет той же, что у π6\frac{\pi}{6}, но пройденный путь больше на целый оборот.
Поэтому синус и косинус определены для любого действительного числа. Величина поворота сохраняет информацию об оборотах, а конечная точка — нет.
При отрицательном повороте геометрическая длина пройденной дуги остаётся положительной. Знак у радианной меры показывает направление. Например, для −π2-\frac{\pi}{2} длина пути равна π2\frac{\pi}{2}.
Какая пара углов приводит в одну точку?

13π6−π6=2π\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 2\pi: разница составляет полный оборот.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Свойства синуса и косинуса

Горизонтальная и вертикальная координаты точки единичной окружности лежат от −1-1 до 11. Поэтому −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1 и −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1.
В I четверти обе координаты положительны; во II синус положителен, косинус отрицателен; в III оба отрицательны; в IV синус отрицателен, косинус положителен. Точки на осях не относятся ни к одной четверти.
Опорные точки: при x=0x = 0 получаем (1;0)(1; 0), при π2\frac{\pi}{2} — (0;1)(0; 1), при π\pi — (−1;0)(-1; 0), при 3π2\frac{3\pi}{2} — (0;−1)(0; -1). Синус равен нулю на горизонтальной оси, косинус — на вертикальной.
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
Это теорема Пифагора для координат точки: X2+Y2=1X^2 + Y^2 = 1. Если известен sin⁡x\sin x, то cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Чтобы выбрать знак косинуса после извлечения корня, нужно знать положение точки.
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}, причём π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi. Найди cos⁡x\cos x.

cos⁡2x=1−925=1625\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}. Во II четверти горизонтальная координата отрицательна, значит cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5}.

Может ли синус действительного числа равняться 1,21{,}2?

У единичной окружности максимальная вертикальная координата равна 11. Дополнительные обороты этого не меняют.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Отрицательный угол

Повернёмся от (1;0)(1; 0) на одинаковую величину в разные стороны. Точки для xx и −x-x будут отражениями относительно горизонтальной оси.
При таком отражении горизонтальная координата сохраняется, а вертикальная меняет знак.
cos⁡(−x)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x
Поэтому косинус называют чётной функцией, а синус — нечётной. Эти равенства верны для любого действительного xx, в том числе отрицательного.
Например, cos⁡(−π3)=cos⁡(π3)=12\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, а sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}. На осях нулевая координата при смене знака остаётся нулём.
Чему равен sin⁡(−π6)\sin(-\frac{\pi}{6}), если sin⁡(π6)=12\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}?

Отражение относительно горизонтальной оси меняет знак высоты: sin⁡(−π6)=−12\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Дополнительный угол

Начнём с острого xx: угол π−x\pi - x настолько же не доходит до π\pi, насколько xx отходит от нуля. Точки симметричны относительно вертикальной оси.
Высота точек одинакова, а горизонтальные координаты противоположны. Поэтому:
sin⁡(π−x)=sin⁡x,cos⁡(π−x)=−cos⁡x\sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x
Подвигай исходную точку за пределы первой четверти. Отражение по-прежнему даёт точку угла π−x\pi - x. Равенства верны для любого действительного xx.
Например, 5π6=π−π6\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}. Поэтому sin⁡(5π6)=12\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}, а cos⁡(5π6)=−32\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Синус сохранился, косинус сменил знак.
cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{5}. Чему равен cos⁡(π−x)\cos(\pi - x)?

При отражении относительно вертикальной оси горизонтальная координата меняет знак: −25-\frac{2}{5}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Периодичность

При повороте на π\pi точка становится противоположной. Обе её координаты меняют знак.
sin⁡(x+π)=−sin⁡x,cos⁡(x+π)=−cos⁡x\sin(x+\pi)=-\sin x,\qquad \cos(x+\pi)=-\cos x
При повороте на 2π2\pi точка возвращается в исходное положение. Обе координаты повторяются.
sin⁡(x+2πk)=sin⁡x,cos⁡(x+2πk)=cos⁡x,k∈Z\sin(x+2\pi k)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi k)=\cos x,\quad k\in\mathbb Z
Это периодичность. Число 2π2\pi — наименьший положительный период обеих функций: после него значения повторяются для всех xx. Число π\pi периодом не является: в общем случае значения меняют знак.
Почему π\pi не является периодом косинуса?

Для периода равенство должно выполняться при каждом аргументе. Уже при x=0x = 0 значения отличаются.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗

Задачи

Теперь соедини идеи: переведи угол в удобную форму, убери целые обороты, используй отражение и проверь знак по четверти. Чертёж можно восстановить самостоятельно на бумаге.
Опорные значения: sin⁡(π6)=12\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}, cos⁡(π6)=32\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡(π4)=cos⁡(π4)=22\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡(π3)=32\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}.
Проверь, что можешь объяснить словами: что измеряет радиан; почему одной точке соответствуют разные углы; какая координата меняется при каждом отражении.
Ниже — авторские задачи для закрепления основ профильного ЕГЭ. Результат каждого ответа сохранится в общем разделе «Мои результаты».
Вычисли sin⁡(13π6)\sin(\frac{13\pi}{6}).

13π6=2π+π6\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}. Убираем полный оборот: sin⁡(13π6)=sin⁡(π6)=12\sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}.

Вычисли cos⁡(5π6)\cos(\frac{5\pi}{6}).

5π6=π−π6\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}. При отражении относительно вертикальной оси косинус меняет знак: −32-\frac{\sqrt{3}}{2}.

sin⁡x=−513\sin x = -\frac{5}{13}, π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2}. Найди cos⁡(−x)\cos(-x).

cos⁡2x=1−25169=144169\cos^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}. В III четверти cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13}. Косинус чётный, поэтому cos⁡(−x)=−1213\cos(-x) = -\frac{12}{13}.

Навигатор ФИПИ · ориентир по содержанию ↗